กราฟสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกำลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0 หรือ 1 สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น" เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร x และ y คือ

y = ax+b

          โดยที่ a คือค่าคงตัวที่แสดงความชันหรือเกรเดียนต์ของเส้นตรง และพจน์ b แสดงจุดที่เส้นตรงนี้ตัดแกน y สำหรับสมการที่มีพจน์ x², y^1/3, xy ฯลฯ ที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่งไม่เรียกว่าเป็นสมการเชิงเส้น

 

 

รูปแบบทั่วไป

สมการเชิงเส้นที่ซับซ้อน อย่างเช่นตัวอย่างข้างบน สามารถเขียนใหม่โดยใช้กฎเกณฑ์ของพีชคณิตมูลฐานให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้น ในสิ่งที่จะอธิบายต่อไปนี้ อักษรตัวใหญ่ใช้แทนค่าคงตัว (ที่ไม่ระบุจำนวน) ในขณะที่ x และ y คือตัวแปร

Ax+By+C=0

เมื่อ A กับ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน สมการในรูปแบบนี้มักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ กราฟของสมการจะเป็นเส้นตรง และทุกๆ เส้นตรงสามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบข้างต้นนี้ได้ เมื่อ A ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน x จะอยู่ที่ระยะ −C/A และเมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 ระยะตัดแกน y จะอยู่ที่ระยะ −C/B ส่วนความชันของเส้นตรงนี้มีค่าเท่ากับ −A/B
รูปแบบมาตรฐาน

Ax+By=C

เมื่อ A และ B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และทั้ง A, B, C จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่มีตัวหารร่วมมากเท่ากับ 1 และมักเขียนให้ A ≥ 0 เพื่อความสะดวกเช่นกัน รูปแบบมาตรฐานนี้สามารถแปลงให้เป็นรูปแบบทั่วไปได้ไม่ยากนัก
ข้อสังเกต

1. สมการเชิงเส้นสองตัวแปร เป็นสมการที่มีตัวแปรสองตัวเลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็น 1 และไม่มีการคูณกันของตัวแปร

2. คำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ที่มี x และ y เป็นตัวแปรได้แก่ค่าของ x และ y ที่ทำให้สมการเป็นจริง นิยมเขียนในรูปคู่อันดับ ( x , y ) เช่น (4,8) จะได้ว่า x = 4 , y = 8

**สมการในรูป y = ax b เรียกว่า รูปมาตรฐานของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดย a เรียกว่าความชันของเส้นตรง ซึ่งค่าของ a และ b จะทำให้ทราบลักษณะกราฟดังนี้คือ

1. ค่าของ a บอกให้ทราบว่ากราฟทำมุมอย่างไรกับแกน x ดังนี้
                         a > 0 กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน x
                         a < 0 กราฟจะทำมุมป้านกับแกน x
                         a = 0 กราฟจะขนานกับแกน x

2. ค่าของ b จะบอกให้ทราบว่ากราฟตัดแกน y ที่จุดใด โดยกราฟจะตัดแกน y ที่ ( 0 , b)

3. ถ้าสมการใด ๆ ที่มีค่า a เท่ากัน จะได้กราฟที่ขนานกัน

4. ถ้าสมการใด ๆ ที่มีค่า a คูณกันได้ –1 จะได้กราฟ 2 เส้นตั้งฉากกัน

5. เนื่องจากกราฟของสมการ y = ax b เป็นเส้นตรง ดังนั้นในการเขียนกราฟของสมการดังกล่าวจึงสามารถทำได้โดยการหาจุดเพียง 2 จุด ที่แทน (x, y) แล้วทำให้สมการนั้นเป็นจริง

 

ที่มา : http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/21863-00/
          http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%AA%E0%B8%A1%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B9%80%E0%B8%8A%E0%B8%B4%E0%B8%87%E0%B9%80%E0%B8%AA%E0%B9%89%E0%B8%99

การวัดปริมาตรและน้ำหนัก

 

          หน่วยการวัดปริมาตรและน้ำหนักเป็น ลูกบาศก์หน่วย หรือ ตามหน่วยของปริมาตรและน้ำหนักที่ใช้ในสถานการณ์นั้น ๆ

          การเปลี่ยนหน่วยการวัดปริมาตรและน้ำหนักที่อยู่ในระบบหรือมาตราเดียวกัน สามารถคำนวณได้จากการเปลี่ยนหน่วยการวัดปริมาตรและน้ำหนักตามความสัมพันธ์ของหน่วยในระบบหรือมาตรานั้น

          การเปรียบเทียบปริมาตรและน้ำหนักที่มีหน่วยการวัดปริมาตรที่ต่างระบบหรือต่างมาตรา จำเป็นต้องทำให้มีหน่วยการวัดปริมาตรและน้ำหนักให้เป็นอย่างเดียวกันก่อน

 

 

การเปลี่ยนหน่วยการวัดปริมาตรและน้ำหนักในระบบหรือมาตราเดียวกัน

          สามารถคำนวณได้จากการเปลี่ยนหน่วยการวัดความยาวตามความสัมพันธ์ของหน่วยในระบบหรือมาตรานั้น ซึ่งมีหลักการดังนี้
          1. การเปลี่ยนจากหน่วยใหญ่เป็นหน่วยย่อย ใช้วิธีการคูณ
          2. การเปลี่ยนจากหน่วยย่อยเป็นหน่วยใหญ่ ใช้วิธีการหาร

 

ตัวอย่าง

          1. นิดดื่มน้ำวันละ 2 แก้ว แก้วละ 8 ออนซ์ ในแต่ละวันนิดต้องดื่มน้ำกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร

                   เนื่องจาก 8 ออนซ์               เท่ากับ 1 ถ้วยตวง
                   นม 2 แก้ว แก้วละ 8 ออนซ์ คิดเป็นนม 3 ถ้วยตวง
                   เนื่องจาก 1 ถ้วยตวง เท่ากับ 240 ลูกบาศก์เซนติเมตร
                   ดังนั้น นม 2 ถ้วยตวง คิดเป็นนม 2 x 240 = 480 ลูกบาศก์เซนติเมตร
                   นั่นคือ นิดดื่มนมวันละ 480 ลูกบาศก์เซนติเมตร

                     ตอบ 480 ลูกบาศก์เซนติเมตร

 

 

ที่มา : http://www.thaigoodview.com/library/contest2553/type1/math03/02/Lesson4.html

         http://www.kr.ac.th/ebook2/apichat/03.html

สามเหลี่ยมและความเท่ากันทุกประการ

พิจารณารูปสามเหลี่ยมABC กับ DEF

 

 



รูปสามเหลี่ยม ABC และ DEF เท่ากันทุกประการเนื่องจากมีคุณสมบัติตามนิยามต่อไปนี้

นิยามของความเท่ากันทุกประการ

1. รูปสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อรูปหนึ่งทับอีกรูปหนึ่งได้สนิทพอดี
2. ส่วนของเส้นตรงสองเส้นจะเท่ากันทุกประการ เมื่อส่วนของเส้นตรงนั้นยาวเท่ากัน
3. มุมสองมุมจะเท่ากันทุกประการ เมื่อมุมทั้งสองมุมมีขนาดเท่ากัน
ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม

นิยาม รูปสามเหลี่ยม ABC คือ รูปที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงสามเส้น , และ เชื่อมต่อจุด A,B และ C ว่าจุดยอดมุมของรูปสามเหลี่ยม ABC
รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการเมื่อด้านและมุมของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองมีขนาดเท่ากันเป็นคู่ๆ

ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในรูปแบบต่างๆ

1. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-มุม-ด้าน(ด.ม.ด.)
นิยาม ถ้ารูสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสองคู่และขนาดของมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากัน เท่ากันแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ

2. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบมุม-ด้าน-มุม(ม.ด.ม.)
นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านซึ่งเป็นแขนร่วมของมุมทั้งสองที่มีขนาดเท่ากัน ยาวเท่ากันด้วยแล้ว รูปสามเหลี่ยมสองนั้นจะเท่ากันทุกประการ

3. ความสัมพันธ์ของสามเหลี่ยมในแบบด้าน-ด้าน-ด้าน(ด.ด.ด.)
นิยาม ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปใดๆ มีด้านยาวเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสามเหลี่ยมนั้นจะเท่ากันทุกประการ

 



ที่มา : http://blog.eduzones.com/nuknik45/32511

เลขฐานสิบ

          เลขฐานสิบ หรือ ทศนิยม (Decimal) หมายถึง ระบบตัวเลขที่มีตัวเลข 10 ตัว คือ 0 – 9

สัญลักษณ์แทนเลขฐานสิบ

          การเขียนจำนวนในรูปทศนิยมคือการเขียนจำนวนให้อยู่ในรูปเลขฐานสิบ ซึ่งมีสัญลักษณ์อยู่ 10 ตัว (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9) และอาจมีการใช้ร่วมกับจุดทศนิยม สำหรับจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม และใช้สัญลักษณ์ + และ − เพื่อบอกค่าบวกและค่าลบ
          เลขฐานสิบนี้เป็นเลขฐานปกติที่คนทั่วไปใช้ เนื่องจากมนุษย์มีสิบนิ้ว แต่ถึงอย่างไรก็ตาม ในอดีตก็มีผู้ที่ใช้เลขฐานที่ไม่ใช่ฐานสิบ เช่น ชาวไนจีเรียใช้เลขฐานสิบสอง และชาวบาบิโลเนียนใช้เลขฐานหกสิบ และชาวเผ่ายูกิใช้เลขฐานแปด
         สัญลักษณ์แทนเลขแต่ละหลักนั้น โดยทั่วไปจะใช้เลขอารบิก และเลขอินเดีย ซึ่งมาจากระบบเดียวกัน แต่มีรูปแบบการใช้ที่แตกต่างกัน

ตารางค่าประจำตำแหน่ง (place valuc) ของระบบตัวเลขฐานสิบ มีดังนี้

ข้อสังเกต

1. ในระบบตัวเลขฐานสิบ ค่าประจำตำแหน่งของหลักทางซ้ายมือ จะเป็นสิบเท่าของหลักทางขวามือเสมอ

2. ในระบบตัวเลขฐานสิบ ค่าของตัวเลขแต่ละตัวของจำนวนใด ๆ จะเท่ากับตัวเลขโดด คูณกับค่าประจำตำแหน่งของตัวเลขโดดนั้น

           

ตัวอย่างการเขียนตัวเลขแทนจำนวนในรูปการกระจาย เช่น

          5,432   =  (5x1000)+(4x100)+(3x10)+(2x1)

         789      =  (7x100)+(8x10)+(9x1)

         33        =  (3x10)+(3x1)

         

          ถ้าการเขียนตัวเลขแทนจำนวนใด ๆ ในรูปการกระจายไม่กะทัดรัด ก็อาจใช้วิธีเขียนค่าประจำตำแหน่งให้สั้นลงโดยใช้เลขยกกำลัง เช่น

          857,425 = (8x105)+(5x104)+(7x103)+(4x102)+(2x10)+(5x1)

          8,763     = (8x103)+(7x102)+(6x10)+(3x1)

 



 

ที่มา : http://www.school.net.th/library/create-web/10000/science/10000-5197.html

          http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B9%80%E0%B8%A5%E0%B8%82%E0%B8%90%E0%B8%B2%E0%B8%99%E0%B8%AA%E0%B8%B4%E0%B8%9A

          http://203.172.205.25/ftp/intranet/mc41/adisak1/page/base.html



จุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรงและรังสี

      ในทางคณิตศาสตร์มีค่าบางค่าที่ใช้เป็นพื้นฐานในการสื่อความหมาย  โดยไม่ต้องให้นิยาม คำเหล่านี้เป็นคำอนิยาม  และในทางเรขาคณิตถือว่า จุด เส้นตรง และระนาบ เป็นคำอนิยาม
      จุด  ใช้เพื่อแสดงตำแหน่ง สัญลักษณ์ที่ใช้คือ .  และเขียนตัวอักษรกำกับไว้เพื่อต้องการระบุชื่อจุด 
เช่น .  A แทน จุด A

       เส้นตรง เส้นตรงมีความยาวไม่จำกัด  และไม่คำนึงถึงความกว้างของเส้นตรง

       รังสี คือส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลายเพียงจุดเดียว

      ส่วนของเส้นตรง    คือ  ส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลาย  2 จุด

      จุดตัด  จุดตัด เกิดจากส่วนของเส้นตรง หรือเส้นตรง หรือรังสี ตั้งแต่สองเส้นขึ้นไป ตัดกันหรือพบกัน เช่น

       คำอนิยามเหล่านี้สามารถนำมาสร้างเป็นมุม หรือรูปเรขาคณิตต่าง ๆ ได้มากมาย ตัวอย่างจากวีดีโอข้างล่าง

             ที่มา : http://math2days.blogspot.com/2013/06/blog-post_3806.html

                http://www.aksorn.com/lib/detail_print.php?topicid=667

เรียนรู้เรื่องมุม

        มุม เกิดจากรังสีหรือส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน จุดนี้เรียกว่า จุดยอดมุม และรังสีหรือส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้นเรียกว่า แขนของมุม  และหน่วยในการวัดมุมอาจมีหน่วยเป็นองศาซึ่งเขียนในสัญลักษณ์ "^o" หรือในหน่วยเรเดียน ซึ่งในหน่วยเรเดียนจะพิจารณาความยาวของส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับมุมนั้น จากความยาวรอบรูปของวงกลม (รัศมี 1 หน่วย) คือ 2π มุมฉากจะมีมุม π/2 เรเดียน ในหน่วยองศา วงกลมจะมี 360 องศา ดังนั้นมุมฉากจะมีมุม 90 องศา

พิจารณารูป

จากรูป

เรียกว่า แขนของมุม

ชนิดของมุม

·         มุมขนาด 90° (หรือ π/2 เรเดียน หรือหนึ่งส่วนสี่ของรูปวงกลม) เรียกว่า มุมฉาก (right angle)

·         มุมที่เล็กกว่ามุมฉาก (น้อยกว่า 90°) เรียกว่า มุมแหลม (acute angle)

·         มุมที่ใหญ่กว่ามุมฉากแต่เล็กกว่าสองมุมฉาก (ระหว่าง 90° กับ 180°) เรียกว่า มุมป้าน (obtuse angle)

·         มุมที่มีขนาดเท่ากับสองมุมฉาก (180°) เรียกว่า มุมตรง (straight angle)

·         มุมที่ใหญ่กว่ามุมตรงแต่น้อยกว่ารูปวงกลมเต็มวง (ระหว่าง 180° กับ 360°) เรียกว่า มุมกลับ (reflex angle)

·         มุมที่วัดแล้วได้ขนาดของมุมเท่ากัน เรากล่าวว่ามุมทั้งสองสมภาคกัน (congruence)

·         เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกันคล้ายตัว X มุมที่อยู่ฝั่งตรงข้ามของจุดตัดเรียกว่า มุมตรงข้าม (vertical/opposite angle) มุมตรงข้ามแต่ละคู่จะสมภาคกันเสมอ

·         มุมที่มีจุดยอดและรังสีด้านหนึ่งร่วมกัน แต่ไม่กินพื้นที่ซึ่งกันและกัน มุมทั้งสองนั้นเรียกว่า มุมประชิด (adjacent angle)

·         มุมสองมุมที่มีผลรวมของขนาดเท่ากับหนึ่งมุมฉาก (90°) จะเรียกทั้งสองว่าเป็น มุมประกอบมุมฉาก (complementary angles)

·         มุมสองมุมที่มีผลรวมของขนาดเท่ากับสองมุมฉาก (180°) จะเรียกทั้งสองว่าเป็น มุมประกอบสองมุมฉาก (supplementary angles)

·         มุมสองมุมที่มีผลรวมของขนาดเท่ากับหนึ่งรอบรูปวงกลม (360°) จะเรียกทั้งสองว่าเป็น มุมประกอบสี่มุมฉาก (explementary angles)

มุมภายในรูปหลายเหลี่ยม

          เราสามารถหามุมภายในของรูปสามเหลี่ยมได้โดยพิจารณาจุดยอด (A) ของสามเหลี่ยม ลากเส้นตรงที่ผ่านจุด A และขนานกับด้านที่อยู่ตรงข้ามจุด A สมมติเป็น BC จะได้ว่าผลรวมของมุมภายในรูปสามเหลี่ยม คือ 180^o เราสามารถหาผลรวมของมุมภายในของรูป n เหลี่ยม ได้โดยอาศัยมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ เลือกจุดยอดใดๆ ของรูป n เหลี่ยม ลากเส้นเชื่อมจุดยอดนั้นกับจุดยอดที่เหลือ จะเกิดสามเหลี่ยม n-2 รูป ดังนั้นมุมภายในของรูป n เหลี่ยมคือ 180(n-2) องศา

ที่มา : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%A1%E0%B8%B8%E0%B8%A1

http://www.thaigoodview.com/library/teachershow/lopburi/sutasri_s/mum/index.html